Catharina O. Corcoll Spina, Rodney Carlos Bassanezi & Maria do Carmo Santos Domite

Uma abordagem da lógica fuzzy no ensino médio

Catharina O. Corcoll Spina (Univ. Estadual Paulista e Fundação Ed. de Barretos -  São Paulo/Brasil)
Rodney Carlos Bassanezi (Universidade Federal de Santo André – São Paulo/Brasil)
Maria do Carmo Santos Domite (Universidade Federal Paulista – USP – São Paulo/Brasil)

Resumo:
O uso cada vez mais intenso de conceitos subjetivos - provenientes da lógica fuzzy -  aplicados a problemas reais nos motivou a desenvolver procedimentos para a  introdução destas idéias no âmbito do ensino médio. O projeto propõe inicialmente o estudo de conjuntos fuzzy que podem ser entendidos com exemplos - de variação populacional, de controle de pragas e de epidemias. Posteriormente, usar as “operações fuzzy” Sup ( ) e Inf ( ) em produtos de matrizes para realizar diagnósticos e avaliações subjetivas. As situações abordadas já estão na literatura (Barros e Bassanezi, 2006), entretanto não como fonte para o Ensino Médio. Um dos objetivos principais deste trabalho é contrapor a crença de exatidão da matemática clássica com os resultados provenientes de lógica subjetiva, utilizando conceitos apropriados para os estudantes destas séries: teoria dos conjuntos, relações e funções, matrizes, equações de diferenças e outros.

Palavras Chave: Lógica Fuzzy, Educação Matemática, Desenvolvimento do pensamento matemático.

Introdução:
A certeza ou verdade assim como a dúvida ou incerteza tem estado no centro das atenções da epistemologia do conhecimento. Na filosofia grega, Platão localiza a certeza no “mundo das idéias” em contraponto com o “mundo sensível” (dos sentidos), no qual teríamos somente aproximações de resultados obtidos no mundo das idéias. Os sofistas, por exemplo, tinham como objetivo transformar modos de argumentação em verdades – uma postura cética diante do conhecimento como absoluto/objetivo.
Neste movimento de busca da essência do conhecimento, a Matemática tem sido como instrumento - uma linguagem - para esclarecer/analisar as teorizações. De todo modo, a busca da verdade ou certeza tem levado, inúmeras vezes, ao desenvolvimento de evidências opostas, proporcionando estudos (matemáticos) de distintos tipos de incertezas. A incerteza, proveniente da aleatoriedade de eventos, ocupa um lugar de destaque no elenco da matemática com ênfase na área de estudos probabilísticos. A Teoria da Probabilidade tem como foco central a explicação da possível ocorrência de cada evento, baseada numa distribuição de ocorrências passadas. Nesta perspectiva, quando modelamos certas situações da realidade, as variáveis lingüísticas estão, muitas vezes, carregadas de subjetividade - não dispondo de distribuições estatísticas ou aleatórias. Nestes casos, as qualificações de tais variáveis são distinguidas por meio de graduações ou de meias-verdades.
É neste contexto de incerteza que a lógica fuzzy tem contribuído com sua linguagem conjuntista, na qual cada elemento é provido de um grau de pertinência ao conjunto. Tal idéia, formalizada por Zadeh em 1965, tem evoluído muito em termos de aplicações em problemas da realidade, dada a sua característica de graduar soluções como medida de credibilidade. Assim, a solução de um modelo matemático não é reconhecida como boa ou ruim - como na lógica aristotélica bivalente – mas, sim, aceita com algum grau de credibilidade pelo usuário.

Lógica Fuzzy como modelos de situações
    No cotidiano, as ações humanas controlam os mais diversos sistemas do mundo real por meio de informações imprecisas. Cada indivíduo funciona como uma “caixa preta”: recebe informações que são interpretadas segundo seus parâmetros e então decide qual atitude tomar. (Barros e Bassanezi, 2006).
Os sistemas baseados em regras fuzzy permitem o tratamento e manipulação de informações incertas e imprecisas, as quais estão representadas por uma família de conjuntos fuzzy. Tais sistemas oferecem uma forma sistemática para a modelagem de processos cujas informações a respeito dos mesmos são fornecidas de forma qualitativa.
    Dentro deste contexto, a representação do sistema pode ser feita através de variáveis lingüísticas representadas por números fuzzy que expressam o comportamento do sistema.
    Para obter a formulação matemática de um conjunto fuzzy, Zadeh baseou-se no fato de que qualquer conjunto clássico pode ser caracterizado por sua função característica   expressa por:  .  
O objetivo desta função é indicar se um elemento x de U pertence ou não a A,  dependendo da imagem em {0, 1}. Assim, a função característica descreve completamente o conjunto A, uma vez que indica quais elementos do conjunto U são elementos de A (Silva, 2005).
Porém, em alguns casos, esta relação de pertinência representa uma simplificação da realidade. Uma relação entre duas espécies de animais, por exemplo, designada como presa-predador considera que, nas relações entre estas espécies essas características podem estar associadas com a sua idade. Isto significa que esses animais seriam considerados presa ou predador com mais ou menos intensidade de acordo com a sua idade. Sendo assim, duas espécies, podem se relacionar com diferentes graus. Neste caso podemos dizer que estes conjuntos e estas relações serão fuzzy.
    Deste modo, nos conjuntos fuzzy a idéia de pertinência é flexibilizada generalizando-se a função característica de modo que ela possa assumir um número infinito de valores diferentes no intervalo [0,1].  
    Na figura 1 buscou-se representar o conjunto fuzzy das presas referentes ao sistema presa-predador já mencionado. Verifica-se que quando menor for a idade dos animais, maior será o grau de pertinência ao conjunto. Entretanto, na idade adulta o grau de pertinência a este conjunto é bem menor que anterior. Contudo, ao envelhecer poderão ser mais facilmente predados elevando novamente o grau de pertinência ao conjunto, superando aquele da idade jovem. Análise semelhante pode ser efetuada para o conjunto dos predadores, figura 2.

 Figura 2.

A função que define o grau de pertinência de um determinado elemento em um conjunto fuzzy é definida como função de pertinência. Assim, um conjunto fuzzy A no universo U é um conjunto de pares ordenados   A =     onde   é a função de pertinência de x em A. Desta forma, a função de pertinência associa com cada elemento x pertencente a U um número real   no intervalo [0 , 1], que representa o grau de possibilidade de que o elemento x venha a pertencer ao conjunto A.
    As funções de pertinência que representam os conjuntos união, intersecção e complementar de conjunto fuzzy são dadas por:

Formulas

  Particularmente, se A e B forem conjuntos clássicos, então as funções características das respectivas operações acima definidas satisfazem estas igualdades mostrando a coerência destas definições.
Para descrever o conhecimento sobre os fenômenos em estudo utiliza-se variáveis lingüísticas ou variáveis fuzzy. Estes termos, traduzidos por conjuntos fuzzy, estão relacionados através de uma proposição fuzzy. Estas proposições conectam as variáveis através de operadores lógicos como: e, ou, então e compõem um conjunto de regras fuzzy conhecido como base de regras. Desta forma por exemplo, para modelarmos as leis que descrevem o crescimento de populações baseado em regras fuzzy teremos para a variável lingüística população o conjunto de termos (modificadores lingüísticos) relacionados a ela: baixa (B), média (M), alta (A) altíssima (AL) podemos compor a seguinte base de regras:

reglas

 A partir desta é possível estabelecer um conjunto de relações ou operações que consiste em combinar um ou mais conjuntos fuzzy visando a obtenção de um único conjunto fuzzy (conjunto solução). As operações básicas referentes às relações fuzzy são especificadas similarmente àquelas definidas para os conjuntos fuzzy.
O  raciocínio aplicado para obtenção do conjunto solução agrega por meio do operador lógico ou, modelado pelo operador máximo   e, em cada regra, os operadores lógicos e e então são modelados pelo operador mínimo  .  O processo descrito é denominado de método de inferência de Mandani . Por fim, há uma transformação inversa do domínio fuzzy para o domínio do mundo real, para que ocorra o acoplamento entre saídas do algoritmo fuzzy e as variáveis de atuação (Shaw e Simões, 1999). Para tanto, pode-se utilizar o método do centro de gravidade. As figuras 3 e 4 ilustram este processo.

Figuras 3 y 4.

 Na modelagem de fenômenos reais se além de quantificar seus elementos quisermos quantificar as características que os determinam devemos incorporar parâmetros fuzzy aos modelos clássicos. Desta forma, por exemplo, para modelos discretos de dinâmica populacional (de Malthus) os parâmetros fuzzy serão introduzidos através de equações de diferenças da forma   onde a variação   da população com base na densidade da mesma é uma função baseada em proposições fuzzy. Através da tabela e do gráfico (figuras 5 e 6) comparamos as soluções obtidas através do modelo fuzzy e do modelo determinístico. Estes resultados evidenciam que ao utilizarmos parâmetros subjetivos na modelagem de fenômenos obtemos resultados similares aos obtidos com dados reais.

Figura 3 y 4.

 O modelo SI de epidemiologia, utilizado para descrever a dinâmica de doenças transmitida diretamente através da interação entre indivíduos suscetíveis e infectados também pode ser modelado através de equações de diferenças,  , em que a função   é definida por parâmetros fuzzy tendo como base de regras proposições do tipo:
R1: Se infeccioso é B então a variação é pequena
R2:  Se infeccioso é A então a variação é pequena,

Figura 7.

O diagrama acima (Figura 7) representa este modelo onde S é a proporção de indivíduos suscetíveis e I é a proporção de indivíduos infectados.
No modelo presa-predador os parâmetros fuzzy são determinados a partir do potencial de presa e do potencial de predador . O esquema abaixo (figura 8) ilustra a dinâmica presa-predador e os parâmetros (taxas) a serem considerados na elaboração do modelo.

Figura 8.

 

Figuras

A seguir desenvolvemos um exemplo completo do processo de modelagem através de um modelo de controle fuzzy de pragas.
    O esquema abaixo (figura 12) representa esquematicamente um sistema fuzzy discreto.

 

Figura 12.
 
 
Adotamos para variáveis de entrada a: Densidade de árvores infestadas: P e a Variação da Densidade de Infestação:  .
    As variáveis P e   são dadas em porcentagem p e podem assumir valores entre 0% e 100%. 
A partir de informações obtidas com especialistas definimos as variáveis em termos lingüísticos e as modelamos por subconjuntos fuzzy triangulares e por suas funções de pertinências.
O conjunto de termos associados a cada variável fuzzy do processo é dada por:
 
Figuras
 
As regras fuzzy do sistema possuem o seguinte formato, se P é densidade média alta (Pma) e   é variação densidade média (Vm) então o controle é médio alto (Cma).
A tabela que sintetiza todas as possíveis regras fuzzy é dada por:
 
Figura 14.
 
Os cálculos contidos nas figuras 13, 14 e 15 tem o objetivo de ilustrar o processo de inferência fuzzy de Mandani (fig. 16). Por exemplo, se P=27 os únicos conjuntos fuzzy atingidos são Pma e Pa. Para achar o grau de pertinência de 27% ao conjunto Pma utilizamos a função de pertinência dada pela expressão 1 desta forma, para P=27 teremos  . Procedimento análogo é efetuado para obtenção dos demais graus de pertinência. O símbolo   não indica qualquer tipo de adição apenas conecta os conjuntos atingidos. Em seguida aplicamos o operador MAX-MIN para obtenção da resposta desejada. Observe o exemplo numérico a seguir:
Po=18 (18% das árvores estão infestadas em t0)
  P (18)=[0,27/ Pm + 0,4/ Pma]
Seja  po=38 (janeiro) então
       p(38)= [0,2/Vm + 0,8/Va]
Logo:
 
Logo
 
origen
 
Procurando dar uma maior abrangência a utilização das idéias contidas nesta teoria dentro de um contexto de ensino regular, através de um exemplo de diagnóstico médico podemos trabalhar a noção de produto cartesiano através de um produto cartesiano fuzzy e das principais operações (Max-Min) sobre matrizes para compor os relacionamentos lógicos entre os termos das variáveis lingüísticas.
    O diagrama abaixo representa, de maneira simplificada, os procedimentos para a realização destes diagnósticos.
 
Diagnostico
 
Os dados que irão compor a base de conhecimentos que será expressa por meio de relação fuzzy encontra-se especificado no quadro abaixo:
 
abaixo
 
 
 Cada elemento da relação R=S-1oT indica o grau de envolvimento de cada sintoma com as diversas doenças consideradas. Como o modelo matemático que adotado para diagnosticar foi o SoR, então para obter o diagnóstico do paciente P1, supondo que  [P1] é a matriz com os sintomas do paciente P1 basta calcularmos [P1]oR. Desta forma o resultado obtido será dado por:     
    (Doença scarlatina)
Da mesma maneira podemos obter o diagnóstico para os demais pacientes.

Conclusão:
    A partir dos exemplos desenvolvidos pudemos constatar que para os sistemas que utilizam a Lógica Fuzzy o processamento de informações consiste em operações que são realizadas sobre conjuntos fuzzy. Estes conjuntos são mais abrangentes uma vez que um conjunto clássico é um caso particular de conjuntos fuzzy. Apesar disto, as operações entre estes conjuntos mantém similaridade com as operações realizadas entre conjuntos clássicos. Finalmente, esta teoria permite a utilização de informações subjetivas na modelagem de diversos fenômenos. Apesar disto, verifica-se que os resultados obtidos através dos modelos fuzzy são coerentes com os resultados obtidos através de modelos clássicos (determinísticos).

Referências Bibilográficas:
CHACIN, R. J. O. Sociedad e Investigación: Borrosidad. Universidad Central de Venezuela, Comisión de Estúdios Interdisciplinares Publicaciones, año 2, n.4, octubre.1999.
AMENDOLA, M. e SOUZA,A.L. Manual do uso da teoria dos conjuntos fuzzy no MATLAB 6.1. FEAGRI/UNICAMP, 2003.
BARROS, L.C., BASSANEZI, R. C. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática. Coleção IMECC. Textos Didáticos. Vol 5. Campinas: UNICAMP, 2006.
SHAW, I. S. e SIMÕES, M. G. Controle e Modelagem Fuzzy. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, São Paulo,1999.
SILVA, J.D.M. Análise de estabilidade de sistemas dinâmicos p-fuzzy com aplicações em biomatemática. Tese de Doutorado, IMECC-Unicamp, Campinas,2005.
KOSKO,B. Fuzzy Thhinking – the new science of fuzzy logic.  Hiperion, New York,1993.